随机伊辛块模型的精确恢复与尖锐阈值

随机块模型（SBM）是一种随机图模型，其中边的生成依据顶点上的潜在簇结构。另一方面，（铁磁）伊辛模型将 $\pm 1$ 标签分配给顶点，依据潜在的图结构，使得若两个顶点在图中相连，则它们更可能被分配相同标签。在 SBM 中，目标是从图结构恢复潜在簇，而在伊辛模型中，一个被广泛研究的问题是基于 i.i.d. 样本（顶点的标签化）恢复潜在图结构。在本文中，我们提出 SBM 与伊辛模型的一个自然组合，称之为随机伊辛块模型（SIBM）。在 SIBM 中，我们取最简单形式的 SBM，其中 $n$ 个顶点被划分为两个等大小的簇，边在簇内以概率 $p$、跨簇以概率 $q$ 独立连接。然后我们使用由 SBM 生成的图 $G$ 作为伊辛模型的潜在图，并从中抽取 $m$ 个 i.i.d. 样本。目标是在不观测图 $G$ 的情况下，从伊辛模型生成的样本中精确恢复 SBM 中的两个簇。作为本文的主要结果，我们在适当选取的 regime 下建立了该精确恢复问题样本复杂度的尖锐阈值 $m^\ast$，其中 $m^\ast$ 可由 SIBM 的参数算出。我们证明当 $m\ge m^\ast$ 时，随着顶点数 $n$ 趋于无穷，可从 $m$ 个样本在 $O(n)$ 时间内恢复簇。当 $m<m^\ast$ 时，我们进一步证明对几乎所有 SIBM 参数的选择，任何恢复算法的成功概率随着 $n\to\infty$ 趋于 $0$。