关于相对化 Alon 第二特征值猜想 V：正则底图情形下相对化 Alon 猜想的证明

这是一系列文章中的第五篇，致力于证明：对到一个固定的正则图的大度数典型覆盖映射，其新的邻接特征值落在 Alon 为随机正则图所猜想的界内。在本文中，我们利用本系列第三和第四篇文章的结果证明，若底图是正则的，则当覆盖映射的度数 $n$ 趋于无穷时，某个新的邻接特征值的绝对值超出 Alon 界的概率以 $O(1/n)$ 为界。此外，我们给出了该概率的上界与下界，其在相差覆盖映射度数的一个乘法常数意义下是紧的。这些界依赖于两个正整数：随机覆盖映射模型的\emph{代数幂}（也可为 $+\infty$）与\emph{缠结幂}。我们猜想所研究模型的代数幂总为 $+\infty$，并在第六篇文章中证明当底图为正则且\emph{Ramanujan}时成立。当模型的代数幂为 $+\infty$ 时，本文结果蕴含更强的结论，例如 (1) 上述上下界在相差一个乘法常数意义下是匹配的；(2) 以小于度数任意负幂的概率，某个新特征值不在 Alon 界内，当且仅当覆盖映射包含有限多个“缠结”之一作为子图（且该事件概率很低）。