非常稠密图的 Alon-Boppana 类型上界及其在最大割中的应用

对于任意 $\epsilon > 0$，我们证明若 $G$ 为 $n \gg_\epsilon 1$ 个顶点的正则图，且其与任何 Tur\'an 图相差至少 $\epsilon n^2$ 条边（即 $\epsilon$-稠密），则其第二个特征值 $\lambda_2$ 满足 $$\lambda_2 \geq n^{1/4 - \epsilon}.$$ 最优指数为 $1/4$。本结果推广了 Balla、R"{a}ty--Sudakov-Tomon 和 Ihringer 独立获得的类似上界，后者仅适用于稠密度至多为 $\frac{1}{2}$ 的图。本研究在较低阶因子下确认了 R"{a}ty、Sudakov 和 Tomon 的猜想。我们的谱方法在最大割问题上具有有趣的应用。首先，我们证明若图 $G$ 具有 $n \gg_\epsilon 1$ 个顶点和 $m$ 条边且 $\epsilon$-稠密于不相连的完全图的任意图，则其最大割至少为 $$\frac{m}{2} + n^{1.01}.$$ 本结果以非平凡多项式因子改进了 Edwards 的经典结果，为 R"{a}ty、Sudakov 和 Tomon 的另一猜想推进了一步。作为我们方法的另一应用，我们证明若图 $G$ 为 $H$-自由且具有 $m$ 条边，则其最大割至少为 $$\frac{m}{2} + c_H m^{0.5001}$$ 其中 $c_H > 0$ 仅取决于 $H$ 的常数。该结果推进了 Alon、Bollob\'{a}s、Krivelevich 和 Sudakov 的猜想，并解答了 Glock-Janzer-Sudakov 和 Balla-Janzer-Sudakov 最近的问题。