加权图的 Alon-Boppana 型界限与谱稀疏化的下界

我们证明了以下关于一般（不一定是正则的）加权图的 Alon-Boppana 型定理：如果 $G$ 是一个具有平均组合度 $d$（即 $G$ 有 $dn/2$ 条边）且围长 $g> 2d^{1/8}+1$ 的 $n$ 节点加权无向图，并且如果 $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \lambda_n$ 是 $G$ 的（非归一化）拉普拉斯矩阵的特征值，那么 $$\frac {\lambda_n}{\lambda_2} \geq 1 + \frac 4{\sqrt d} - O \left( \frac 1{d^{\frac 58} }\right)$$ （Alon-Boppana 定理意味着，如果 $G$ 是无权且 $d$-正则的，且直径至少为 $d^{1.5}$，则 $\frac {\lambda_n}{\lambda_2} \geq 1 + \frac 4{\sqrt d} - O\left( \frac 1 d \right)$。）我们的结果意味着谱稀疏化器的下界。如果 $$L(G) \preceq L(H) \preceq (1+\epsilon) L(G)$$ 其中 $L(G)$ 是 $G$ 的拉普拉斯矩阵，$L(H)$ 是 $H$ 的拉普拉斯矩阵，则图 $H$ 是图 $G$ 的谱 $\epsilon$-稀疏化器。Batson、Spielman 和 Srivastava 证明了，对于每个 $G$，都存在一个平均度为 $d$ 的 $\epsilon$-稀疏化器 $H$，其中 $\epsilon \approx \frac {4\sqrt 2}{\sqrt d}$，且 $H$ 的边是 $G$ 的边的（加权）子集。Batson、Spielman 和 Srivastava 还表明，当 $G$ 是团时，$\epsilon$ 的界限不能降低到 $\approx \frac 2{\sqrt d}$ 以下；我们的 Alon-Boppana 型结果意味着，当 $G$ 来自具有超常数度和超常数围长的扩展图族时，$\epsilon$ 不能降低到 $\approx \frac 4{\sqrt d}$ 以下。Batson、Spielman 和 Srivastava 的方法证明了一个更普遍的结论，即关于秩一矩阵之和的稀疏化，且他们的方法适用于“在线”设置。我们表明，对于在线矩阵设置，$4\sqrt 2 / \sqrt d$ 界限在低阶项意义上是紧致的。