关于Alon-Tarsi多项式方法的两个推广

在一篇开创性论文中，Alon和Tarsi引入了一种代数技术，用于证明图的选择数（从而特别地，其色数）的上界。通过他们的方法得到的$G$的选择数上界，后来被称为$G$的Alon-Tarsi数，记为$AT(G)$。他们给出了该参数的一个组合解释，该解释基于$G$的某个适当定向的欧拉子有向图。他们的刻画可以重述如下。设$D$是$G$的一个定向。给$D$的每个子有向图$H$赋予一个权重$\omega_D(H)$：如果$H \subseteq D$是欧拉的，则$\omega_D(H) = (-1)^{e(H)}$，否则$\omega_D(H) = 0$。Alon和Tarsi证明了$AT(G) \leq k$当且仅当存在$G$的一个定向$D$，使得每个顶点的出度严格小于$k$，并且$\sum_{H \subseteq D} \omega_D(H) \neq 0$。不久之后，对于$d$-正则$d$-边可着色图的线图这一特例，Alon给出了$AT(G)$的另一种解释，这次是借助线图的带符号$d$-着色。在本文中，我们推广了这两个结果。第一个刻画被推广，我们证明了存在一个无限族的权重函数（包括Alon和Tarsi考虑的那个），每个都可以用来刻画$AT(G)$。第二个刻画被推广到所有图（实际上结果更为一般——特别地，它适用于超图）。然后，我们利用第二个推广来证明对于某些图族$G$，有$\chi(G) = ch(G) = AT(G)$成立。其中一些结果推广了某些已知的可选择性结果。