加法染色的一个 Alon-Tarsi 型定理

我们首先给出 Alon-Tarsi 列表染色定理的另一种证明。我们利用该证明中的思想得到以下结果，它是 Alon-Tarsi 定理的加法染色类比：设 $G$ 是一个图，$D$ 是 $G$ 的一个定向。我们引入一个新的有向图 $\mathcal{W}(D)$，使得如果 $D$ 中每个顶点 $v$ 的出度为 $d_v$，并且 $\mathcal{W}(D)$ 中具有偶数条边的欧拉子有向图的数目与 $\mathcal{W}(D)$ 中具有奇数条边的欧拉子有向图的数目不同，那么对于将 $d_v+1$ 个正整数的列表 $L(v)$ 分配给 $G$ 的顶点的任何指派，都存在 $G$ 的一个加法染色，为每个顶点 $v$ 分配 $L(v)$ 中的一个元素。作为一个应用，我们证明了对于三部图 $G$ 的一个加法列表染色结果，其中 $G$ 的一个色类仅包含其邻域为完全集的顶点。