因子范数与 MaxCut 反定理

我们证明了具有受限 $\gamma_2$-范数或归一化迹范数的布尔矩阵必须包含线性大小的全1或全0子矩阵，从而验证了 Hambardzumyan、Hatami 和 Hatami 的猜想。我们还进一步讨论了具有受限 $\gamma_2$-范数的布尔矩阵的结构结果，并探讨了其在通信复杂性、算子理论、谱图论和极端组合论中的应用。作为一个关键应用，我们建立了 MaxCut 的反定理。著名的 Edwards 定理指出，具有 $m$ 条边的任意图 $G$ 都存在一个割的大小至少为 $\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{8m+1}-1}{8}$，其中完全图（顶点数为奇数）实现等式。与此相对，我们证明如果图 $G$ 的 MaxCut 至多为 $\frac{m}{2}+O(\sqrt{m})$，则 $G$ 必须包含大小为 $\Omega(\sqrt{m})$ 的团。