$H$-自由图中 MaxCut 的新结果

MaxCut 问题询问图 $G$ 中最大割的大小 ${\rm mc}(G)$。众所周知，对任意 $m$ 条边的图 $G$ 有 ${\rm mc}(G)\ge m/2$，且差值 ${\rm mc}(G)-m/2$ 称为 $G$ 的盈余（surplus）。对 $H$-自由图盈余的研究由 Erdős 和 Lovász 于 70 年代发起，他们特别询问了三角形自由图的情形。Alon 著名地解决了该问题，表明在三角形自由情形下盈余为 $\Omega(m^{4/5})$，并给出了匹配此界的构造。我们证明了该领域的若干新结果。首先，我们证明对每个固定的奇数 $r\ge 3$，任意具有 $m$ 条边的 $C_r$-自由图的盈余为 $\Omega_r\big(m^{\frac{r+1}{r+2}}\big)$。这是紧的，由 Alon 和 Kahale 的伪随机 $C_r$-自由图构造所证。它改进了若干研究者的先前结果，并补充了 Alon、Krivelevich 和 Sudakov 在 $r$ 为偶数时相同界的结果。其次，推广 Alon 的结果，我们允许图含有三角形，并表明若三角形数量略少于同密度随机图中的数量，则该图具有大盈余。对正则图，我们的盈余界是紧的。第三，我们证明具有少量 $K_r$ 副本且平均度为 $d$ 的 $n$-顶点图的盈余为 $\Omega_r(d^{r-1}/n^{r-3})$，当 $d$ 接近 $n$ 时该界是紧的，前提是存在猜想中的稠密伪随机 $K_r$-自由图。此结果被用于改进 $K_r$-自由图盈余的最佳已知下界（作为 $m$ 的函数）。我们的证明结合了半定规划、概率推理以及组合与谱论的方法。