关于相对化 Alon 特征值猜想 II：游走的渐近展开定理

这是一系列文章中的第二篇，致力于证明：到大度固定正则图的典型覆盖映射，其新的邻接特征值位于 Alon 为随机正则图所猜想的界内。本文的第一个主要结果涉及函数 $f(k,n)$，其定义为固定图的度为 $n$ 的随机覆盖图中给定同伦类型的严格非回溯闭（SNBC）长度为 $k$ 的游走数量。我们证明了 $f(k,n)$ 存在关于 $1/n$ 的幂次的渐近展开，其中系数（作为 $k$ 的函数）被证明具有一些良好性质；即这些系数近似为多项式乘以指数函数的和。第二个主要结果是第一个的推广，其中长度为 $k$ 的 SNBC 游走数量乘以一个指示函数，表示覆盖图包含某类{\em 缠结}；第二个结果需要更多术语，尽管其证明使用了与证明第一个结果相同的基本工具。% 第二个主要结果的动机将在 % 本系列文章的第三篇中清晰。本文中的结果大多是先前工作所用方法的直接推广。然而，本文（1）将这些方法“分解”为若干简短、概念简单且独立的部分，（2）以更一般的术语书写每个独立部分，以及（3）显著简化了先前的一项计算。因此我们期望本文能使迹方法更易于应用于随机图的 related 模型。