关于广义谱共轨图的有理正交矩阵的层次

对于一个 $n$ 顶点图 $G$，其步矩阵 $W(G)$ 为 $[e,Ae,\ldots,A^{n-1}e]$，其中 $e$ 为全1向量。若 $W(G)$ 为非奇异矩阵，且 $p$ 为一个奇素数，使得 $W(G)$ 在有限域 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上秩为 $n-1$。设 $H$ 为与 $G$ 广义谱共轨的图，$Q$ 为满足 $Q^\mathsf{T} A(G) Q=A(H)$ 的相应有理正交矩阵。我们证明了 \begin{equation*} v_p(\ell(Q))\le \frac{1}{2}v_p (\det W(G)) \end{equation*}，其中 $\ell(Q)$ 为最小正整数 $k$，使得 $kQ$ 为整数矩阵，$v_p(m)$ 为最大非负整数 $s$，使得 $p^s$ 整除 $m$。这显著改进了 Qiu 等人[离散数学 346 (2023) 113177] 最近的结果，后者指出 $v_p(\ell(Q))\le v_p (\det W(G))-1$。