有向图广义共谱配偶数的上界

本文考察了有向图的谱特征。设$\Sigma$为一个$n$顶点的有向图，其偏斜邻接矩阵为$S$。以往的研究主要关注自逆向有向图，提出了这些图被其广义偏斜谱(\mathrm{DGSS})唯一确定的算术条件。然而，自逆向图极其稀少；本文考虑更一般的有向图类群$\mathcal{G}_{n}$（不限于自逆向图），其包含所有满足$2^{-\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor }\det W(\Sigma)$为奇数且完全平方free整数的$n$顶点有向图$\Sigma$，其中$W(\Sigma)=[e,Se,\dots,S^{n-1}e]$（$e$为全1向量）为$\Sigma$的偏斜步矩阵。鉴于$\Sigma$与其逆转图$\Sigma^{\rm T}$共谱，总存在唯一的正交$Q_0$满足$Q_0^{\rm T}SQ_0=-S$。本研究揭示了$Q_0$的层级$\ell_0$与$\Sigma$的广义共谱配偶数之间存在深刻关系。更准确地说，我们表明，$\Sigma\in\mathcal{G}_{n}$的广义共谱配偶数上界最多为$2^{t}-1$，其中$t$为$\ell_0$的素因数个数。此外，还提供了一些数值实例，表明上述上界是可达的。最后，我们还提供了有向图$\Sigma\in\mathcal{G}_{n}$被其广义偏斜谱(\mathrm{WDGSS})弱唯一确定的判据。