一种新的有向图判定其广义偏斜谱的标准

谱图特征是谱图论中的一个重要议题，近年来受到研究者的广泛关注。然而，对有向图的研究仍相对有限。Qiu 等人\cite{QWW}（Linear Algebra Appl. 622 (2021) 316-332）给出了一个用于判定有向图是否由其\emph{广义偏斜谱}（DGSS）所决定的算术准则。更具体地说，设 $\Sigma$ 为一个 $n$ 顶点有向图，其偏斜邻接矩阵为 $S$，记 $W(\Sigma)=[e,Se,\ldots,S^{n-1}e]$ 为 $\Sigma$ 的\emph{步矩阵}，其中 $e$ 为全1向量。Qiu 等人\cite{QWW} 的定理表明，若一个自等价有向图 $\Sigma$ 的步矩阵 Smith 规范形为 ${\rm diag}(1,\ldots,1,2,\ldots,2,2d)$，其中 $d$ 为一个奇数且无平方因子的整数，且对角线上 $1$ 的个数恰好为 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$，则 $\Sigma$ 为 DGSS。本文证明，$d$ 的平方无素性假设实际上可以被取消，这显著改进了上述定理。我们新的关键工具是独立的中间结果：对于自等价有向图 $\Sigma$ 和一个奇素数 $p$，若 $W(\Sigma)$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的秩为 $n-1$，则 $W(\Sigma)^{\rm T}$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的核是\emph{各向同性}的，即对任意 $\mathbb{F}_p$ 上的非零向量 $v$，都有 $v^{\rm T}v\neq 0$。