谱序列化的一致性

考虑一个大小为 $N$ 的随机图 $G$，按照如下方式根据一个 \textit{graphon} $w : [0,1]^{2} \mapsto [0,1]$ 构造：首先将 $N$ 个顶点 $V = \{v_1, v_2, \ldots, v_N\}$ 嵌入区间 $[0,1]$，然后对每个 $i < j$，以概率 $w(v_i, v_j)$ 在 $v_i$ 与 $v_j$ 之间添加一条边。仅给定该图的邻接矩阵，如果 $w$ 满足 [Janssen 2019] 中引入的如下 \textit{线性嵌入} 性质：对每个 $x$，$w(x,y)$ 随着 $y$ 远离 $x$ 而递减，我们或许期望能够近似重构置换 $\sigma$，使得 $v_{\sigma(1)} < \ldots < v_{\sigma(N)}$。对于一个庞大且非参数的 graphon 族，我们证明：(i) 流行的谱序列化算法 [Atkins 1998] 提供了 $\sigma$ 的一个相合估计量 $\hat{\sigma}$，以及 (ii) 少量的后处理可得到一个估计 $\tilde{\sigma}$，该估计以近乎最优的速率收敛到 $\sigma$，两者均在 $N \rightarrow \infty$ 时成立。