相关高斯矩阵的谱对齐

本文分析了一种用于矩阵对齐问题的简单谱方法（EIG1），该方法由对齐其前导特征向量组成：给定两个矩阵 $A$ 和 $B$，我们计算 $v_1$ 和 $v'_1$ 两个对应的前导特征向量。算法返回置换 $\hat{\pi}$，使得坐标 $\hat{\pi}(i)$ 在 $v_1$ 中的秩与坐标 $i$ 在 $v'_1$ 中的秩（模 $v'_1$ 的符号）相同。我们考虑一个加权图模型，其中邻接矩阵 $A$ 属于大小为 $N \times N$ 的高斯正交系综（GOE），而 $B$ 是 $A$ 的一个含噪版本，其中所有节点已根据某个植入置换 $\pi$ 重新标记，即 $B= \Pi^T (A+\sigma H) \Pi$，其中 $\Pi$ 是与 $\pi$ 关联的置换矩阵，$H$ 是 $A$ 的独立副本。我们展示如下零一定律：在高概率下，在条件 $\sigma N^{7/6+\epsilon} \to 0$（对某个 $\epsilon>0$）下，EIG1 恢复底层置换 $\pi$ 中除消失部分外的全部；而如果 $\sigma N^{7/6-\epsilon} \to \infty$，该方法不能恢复超过 $o(N)$ 个正确匹配。该结果增进了对最简单且最快的矩阵对齐（或完全加权图对齐）谱方法的理解，并涉及可能具有独立意义的证明方法与技术。