高斯权重图数据库对齐的精确恢复锐阈值

我们研究了加权图（或矩阵）数据库对齐中重构的基本极限。我们考虑两个图的模型，其中 $\pi^*$ 是一个植入的均匀置换，且所有边权重组 $(A_{i,j}, B_{\pi^*(i),\pi^*(j)})_{1 \leq i<j \leq n}$ 是零均值、单位方差且相关参数为 $\rho \in [0,1]$ 的高斯变量独立同分布对。我们证明了 $\pi^*$ 的精确恢复存在一个锐阈值：若对某个 $\epsilon>0$ 有 $n \rho^2 \geq (4+\epsilon) \log n + \omega(1)$，则存在一个基于数据库 $A,B$ 观测的估计量 $\hat{\pi}$（即 MAP 估计量）能以高概率实现精确重构。反之，若 $n \rho^2 \leq 4 \log n - \log \log n - \omega(1)$，则任意估计量 $\hat{\pi}$ 满足 $\hat{\pi}=\pi$ 的概率仅为 $o(1)$。该结果表明，精确恢复的信息论阈值与 Wu 等人（2020）近期工作中检测所得阈值相同：换言之，对于高斯加权图对齐，重构问题并不比检测问题更困难。尽管向量型数据库对齐（即取形如 $(u_i, v_{\pi^*(i)})_{1 \leq i\leq n}$ 的信号，其中 $(u_i, v_{\pi^*(i)})$ 为 $\mathbb{R}^{d_u} \times \mathbb{R}^{d_v}$ 中的独立同分布对）的重构任务已被充分理解，但其在图（或矩阵）数据库上的表述带来了一个截然不同的问题，其困难相被推测为较宽。证明建立在 MAP 估计量与二阶矩法的分析，以及对置换能量相关结构的研究之上。