高维含噪稀疏性恢复的快速阈值

基于被噪声污染的观测一致估计向量 $\betastar \in \real^\mdim$ 的稀疏模式的问题出现在多种情境中，包括回归中的子集选择、图模型中的结构估计、稀疏逼近与信号去噪。我们分析 $\ell_1$ 约束二次规划(QP)（亦称为Lasso）恢复稀疏模式的行为。我们的主要结果是建立问题维数 $\mdim$、$\betastar$ 中非零元个数 $\spindex$ 与可靠恢复所需观测数 $\numobs$ 之间的精确关系。对满足互不相干条件的一大类高斯系综，我们确立并计算出阈值 $\ThreshLow$ 与 $\ThreshUp$ 的显式值，具有如下性质：对任意 $\epsilon > 0$，若 $\numobs > 2 (\ThreshUp + \epsilon) \log (\mdim - \spindex) + \spindex + 1$，则对大问题Lasso以趋于1的概率成功恢复稀疏模式；而若 $\numobs < 2 (\ThreshLow - \epsilon) \log (\mdim - \spindex) + \spindex + 1$，则成功恢复的概率趋于零。对均匀高斯系综的特例，我们证明 $\ThreshLow = \ThreshUp = 1$，故阈值是精确的且被准确确定。