高维含噪情形下稀疏恢复的信息论极限

基于一组 $n$ 个含噪观测来恢复固定但未知向量 $\beta^* \in \real^p$ 的稀疏模式的问题出现在多种场景中，包括回归中的子集选择、图模型选择、信号去噪、压缩感知和构造逼近。令人感兴趣的是模型维度 $p$、稀疏度指标 $s$（$\beta^*$ 中非零项的数目）以及观测数 $n$ 上那些保证稀疏模式渐近完美恢复所必需和/或充分的条件。本文关注稀疏恢复的信息论极限：特别地，对于基于从标准高斯系综抽取的测量向量的含噪线性观测模型，我们推导出了使用最优解码器实现渐近完美恢复的一组充分条件，以及任何解码器（无论其计算复杂度如何）为实现完美恢复必须满足的一组必要条件。这一对最优解码极限的分析补充了我们此前关于使用 Lasso（$\ell_1$ 约束二次规划）与高斯测量系综进行稀疏恢复 sharp 阈值的工作（ARXIV: math.ST/0605740）。