相位同步与正交群同步中谱方法的精确极小极大最优性

我们研究了在带有加性高斯噪声和不完整数据的相位同步问题中谱方法的性能。该谱方法利用数据矩阵的主特征向量并随后进行归一化步骤。我们证明在平方 $\ell_2$ 损失下，该方法以匹配的首项常数达到了该问题的极小极大下界。这表明只要一致参数估计可行，谱方法就具有与包括最大似然估计、广义幂方法和半定规划在内的更复杂过程相同的性能。为建立我们的结果，我们首先对总体特征向量给出了一种新颖的选择，使得在无加性噪声时能够建立谱方法的精确恢复。然后我们开发了一套用于主特征向量的新扰动分析工具，并表明它可以用其一阶近似以较小的 $\ell_2$ 误差很好地逼近。我们进一步推广分析，建立了谱方法在正交群同步中的精确极小极大最优性。