拉普拉斯连续时间量子行走问题中全连接顶点的普适性

在阶数为 $N$ 的简单图 $G$ 中，全连接顶点 $w$ 是指与所有其他 $N-1$ 个顶点都相连的顶点。记 $L$ 为该图的拉普拉斯矩阵，我们证明：以 $H=\gamma L$ 为哈密顿量、游走粒子初始局域于 $\vert w \rangle$ 的连续时间量子行走（CTQW）不依赖于图 $G$。我们还证明，对于任意类 Grover 的 CTQW——其哈密顿量为 $H=\gamma L +\sum_w \lambda_w \vert w \rangle\langle w \vert$——在全连接标记顶点 $w$ 处的概率幅不依赖于 $G$。该结果对以 $H=\gamma A$（邻接矩阵）为哈密顿量的 CTQW 不成立。我们将结果应用于单与多个全连接标记顶点的空间搜索与量子传输，证明任意图 $G$ 上的 CTQW 继承了同阶完全图已有的性质，包括空间搜索的最优性。我们的结果为文献中已报道的若干关于全连接顶点的局部结果提供了统一框架，例如星图与轮图中心顶点的 CTQW 及空间搜索的等价性，以及完全图任意顶点的等价性。