流形上亚欖拉斯西随机游走及其收敛于平衡

本文旨在研究具有 $(h,\rho)$ 亚欖拉斯西性质的随机游走在闭合、连通黎曼流形 $(M,g)$ 上的平衡收敛问题。该随机游走与流形上的亚欖拉斯西二阶微分算子 $A$ 相关联，其中 $h$ 大致表示步长大小，$\rho$ 表示其施加速度。为构造随机游走并证明收敛结果，我们采用费弗默-Phong 方法，这种方法将问题简化为研究一个常系数算子 $\tilde{A}$，它在意义上与我们的二阶亚欖拉斯西算子 $A$ 在局部等价，即由 $\tilde{A}$ 产生的扩散会在局部引起 $A$ 的扩散。通过利用 $M$ 的紧致性，这种局部扩散可被提升为全局扩散，随后通过关联马尔可夫算子的数值理论获得收敛结果。