黎曼流形上的随机梯度下降：在量子优化及更广领域中几乎必然收敛至全局最小值

我们分析了黎曼流形上梯度下降方法的收敛性。特别地，我们研究了用于最小化光滑代价函数（Morse-Bott 类型）的黎曼梯度算法的随机化。我们证明了随机梯度下降方法（其中黎曼梯度被其随机投影替代）几乎必然收敛至单一局部最优解，尽管存在鞍点。我们考虑了均匀分布和离散随机投影。我们还讨论了越过鞍点所需的时间。作为主要应用，我们考虑了通过在酉群上进行量子优化来制备基态。在数学上，我们对迹函数 $U \to \operatorname{tr}(AU\rho U^*)$ 应用的随机算法几乎必然收敛至其全局最小值。如果 $\rho$ 是秩一投影算子（纯态），则该最小值对应于自伴算子 $A$（哈密顿量）的最小特征值（基态）。在此设定下，可以通过实现所谓的离散酉 2-设计来高效地替代均匀随机投影。