次黎曼流形上布朗运动的弱收敛
概率论
2014-10-07 v2 微分几何
摘要
本文考虑了在次黎曼流形 的背景下，用随机游走逼近布朗运动这一经典问题。为了构造这样的随机游走，我们首先解决了与该流形退化性相关的几个问题。特别是，我们定义了一族与底层流形几何自然相关的次拉普拉斯算子。当 是黎曼（非退化）流形时，我们恢复了 Laplace-Beltrami 算子。随后，我们构造了相应的随机游走，并在关于次拉普拉斯算子和 的标准假设下，证明了该随机游走弱收敛于一个过程，即水平布朗运动，其无穷小生成元为次拉普拉斯算子。文中详细讨论了配备标准次黎曼度量的海森堡群这一示例，在这种情况下，我们引入的次拉普拉斯算子被证明是平方和（H"{o}rmander）算子。
引用
@article{arxiv.1403.0142,
title = {Weak Convergence to Brownian Motion on Sub-Riemannian Manifolds},
author = {Maria Gordina and Thomas Laetsch},
journal= {arXiv preprint arXiv:1403.0142},
year = {2014}
}
备注
minor changes including title change