亚黎曼几何中的内蕴随机游走与子拉普拉斯算子

在亚黎曼流形上，我们定义两类拉普拉斯算子。宏观拉普拉斯算子 $\Delta_\omega$，作为水平梯度的散度，一旦固定体积 $\omega$；以及微观拉普拉斯算子，作为与一列测地随机游走相关联的算子。我们考虑一类一般的随机游走，其中考虑了所有亚黎曼测地线。该算子仅依赖于对亚黎曼分布之补空间 $\mathbf{c}$ 的选择，记为 $L^c$。我们探讨这两个算子的等价性问题。该问题有趣之处在于，在等正则亚黎曼流形上，总存在内蕴体积（例如 Popp 体积 $P$），但没有补空间的正则选择。结果严重依赖于所研究结构的类型。在接触结构上，对每个体积 $\omega$，存在唯一补空间 $c$ 使得 $\Delta_\omega=L^c$。在卡诺群上，若 $H$ 为哈尔体积，则总存在补空间 $c$ 使得 $\Delta_H=L^c$。然而此补空间一般而言不唯一。对于拟接触结构，通常对任意 $c$ 的选择有 $\Delta_P \neq L^c$。特别地，$L^c$ 关于 Popp 测度不对称。这令人惊讶，尤其在维数 4 时，在恰当意义下 $\Delta_P$ 是唯一的内蕴宏观拉普拉斯算子。我们在此引入的一个关键概念是 N-内蕴体积，即仅依赖于幂零近似参数集的体积。当幂零近似不依赖于点时，N-内蕴体积在常数缩放意义下唯一，且相应的 N-内蕴子拉普拉斯算子唯一。这发生于维数小于等于 4 的情形，特别是上述 4 维拟接触结构。