幺模 Lie 群上的内蕴次椭圆 Laplacian 及其热核
偏微分方程分析
2009-09-29 v3 数学物理
math.MP
摘要
利用 Montgomery 引入的 Popp 体积形式，我们给出了具有常增长向量的次黎曼结构上次椭圆 Laplacian 的不变定义。该定义推广了黎曼几何中的 Laplace-Beltrami 算子。对于幺模 Lie 群上的左不变问题，我们证明了它与通常的平方和一致。随后，我们扩展了一种方法（最初由 Hulanicki 在 Heisenberg 群上使用），以显式计算任意 I 型幺模 Lie 群上次椭圆热方程的核。主要工具是非交换 Fourier 变换。接着我们研究了一些相关情形：SU(2)、SO(3)、SL(2)（具有由 Killing 型导出的度量）以及平面旋转平移群 SE(2)。我们的研究受最近关于这些次黎曼流形上的截断 locus 和共轭 locus 结果的启发。其视角在于理解次黎曼距离的奇异性如何反映在相应次椭圆热方程的核上。
引用
@article{arxiv.0806.0734,
title = {The intrinsic hypoelliptic Laplacian and its heat kernel on unimodular Lie groups},
author = {Andrei Agrachev and Ugo Boscain and Jean-Paul Gauthier and Francesco Rossi},
journal= {arXiv preprint arXiv:0806.0734},
year = {2009}
}