所有秩下曲面群极小表示的体积熵

我们研究了一类称为\emph{极小几何表示}的曲面群（包括经典表示）的体积熵。我们重新发现了 Cannon 和 Wagreich 首先获得的一个公式，该计算出自 Cannon 一份未发表的手稿。结果令人惊讶：一个关于群的秩 $n$ 的 $n$ 次显式多项式编码了曲面群所有经典表示的体积熵。我们所采用的方法完全不同，它基于一种动力系统构造，遵循 Bowen 和 Series 提出的思想，并推广至所有几何表示。结果得到了所有曲面群极小表示体积熵的显式公式，表明其依赖于秩 $n>2$ 的多项式关系。我们证明，对于具有经典表示 $P_n$ 的秩为 $n$ 的曲面群 $G_n$，其体积熵为 $\log(\lambda_n)$，其中 $\lambda_n$ 是多项式 $$x^{n} - 2(n - 1) \sum_{j=1}^{n-1} x^{j} + 1.$$ 大于 1 的唯一实根。