零熵自同构多项式体积增长的下界

设 $X$ 为维数为 $d$ 的正规射影变数，设 $f$ 为 $X$ 的一个零熵自同构。记 $k$ 为 $f$ 的一次生长率，使得 $\deg_1(f^n) \asymp n^{k}$。我们证明了零熵自同构 $f$ 的多项式体积增长 $\mathrm{plov}(f)$ 的尖锐下界：$$\mathrm{plov}(f) \ge d+\frac{k(k+2)}{4},$$ 等价于给出关联扭转齐次坐标环的 Gelfand--Kirillov 维数的尖锥下界。这改进了 Keeler 和 Lin--Oguiso--Zhang 先前的下界。在证明中，我们引入动力学交叉多项式的概念，并给出 $\mathrm{plov}(f)$ 的一种新表述：基于交叉数的非消失性。我们还建立了一个关于多项式体积增长的间隙原理：对于每一个固定维数 $d\ge 4$，要么 $\mathrm{plov}(f)=d^2$，要么 $\mathrm{plov}(f)\le d(d-2) + 2\lfloor d/4 \rfloor$。这揭示了零熵自同构的一种新刚性现象。作为应用，在维数 $4$ 时我们确定 $\mathrm{plov}$ 的所有可能值，从而扩展了 Artin--Van den Bergh 对于 surfaces 和 Lin--Oguiso--Zhang 对于 threefolds 的结果。