结构化 $\mathbb{F}_2$-多项式的 Fourier 增长及其应用

我们分析了各种被广泛研究的“结构化” $\mathbb{F}_2$-多项式类的 Fourier 增长，即第 $k$ 层的 $L_1$ Fourier 权重（记为 $L_{1,k}$）。本研究的动机来自于伪随机性中的应用，特别是 [CHHL19,CHLT19,CGLSS20] 提出的最新结果和猜想，这些结果表明 Fourier 增长的上界（即使在 $k=2$ 层）可以给出无条件伪随机生成器。我们关于 Fourier 增长的主要结构化结果如下：- 我们证明了对任何对称的 $d$ 次 $\mathbb{F}_2$-多项式 $p$，有 $L_{1,k}(p) \le \Pr[p=1] \cdot O(d)^k$，并且对于任何常数 $k$ 这都是紧的。这二次地加强了 [RSV13] 中隐含的早期界限。- 我们证明了对任何 read-$\Delta$ 的 $d$ 次 $\mathbb{F}_2$-多项式 $p$，有 $L_{1,k}(p) \le \Pr[p=1] \cdot (k \Delta d)^{O(k)}$。- 我们建立了一个复合定理，给出了在限制下封闭且具有 $L_{1,k}$ 界的函数的不相交复合的 $L_{1,k}$ 界。最后，我们应用上述结构化结果，为各种 $\mathbb{F}_2$-多项式类获得了新的无条件伪随机生成器和新的相关界。