关于流形的指标期望曲率

紧致黎曼 2d-流形 M 上的指标期望曲率 K(x) = E[i_f(x)] 是 Poincare-Hopf 指标 i_f(x) 的期望，因此满足 Gauss-Bonnet 关系，即 K 在 M 上的积分为 Euler 示性数 X(M)。与 Gauss-Bonnet-Chern 被积函数不同，此类曲率一般是非局部的。我们证明，对于嵌入在具有确定截面曲率符号 e 的可平行化 2d-流形 N 中的带边小 2d-流形 M，存在具有确定符号 e^d 的指标期望 K(x)。函数 K(x) 构造为截面指标期望曲率平均值 K_k(x) = E[i_k(x)] 的乘积，其中 i_k(x) 来自 Morse 函数 f 的概率空间，使得 i_f(x) 为 i_k(x) 的乘积，且 i_k 相互独立因而无关联。