开流形上伪微分算子的指标

我们将 Roe 关于开流形上 Dirac 型算子的指标定理推广至椭圆伪微分算子。为此，我们在有界几何流形上引入了一类比其它作者定义的类似类更为广泛的伪微分算子类。我们重新审视了 Spakula 的一致 K-同调，并表明我们的椭圆伪微分算子自然地定义了其中的类。此外，我们利用一致粗装配映射将这些类与一致 Roe 代数的 K-理论中这些算子的指标类联系起来。我们对一致 K-同调的研究继续构建了其外积并推导了同伦不变性。下一个主要结果是一致 K-同调的对偶理论即一致 K-理论的识别。我们为所有度量空间给出了一致 K-理论的简单定义，并在有界几何流形的情形下，通过流形上的有界几何向量丛给出了解释。这为 Chern-Weil 理论打开了大门，我们定义了一个从流形的一致 K-理论到其有界 de Rham 上同调的 Chern 特征映射。我们为这些一致（上）同调理论引入了一种 Mayer-Vietoris 论证类型，使我们能够首先证明 Chern 特征在模去挠元后诱导同构，其次证明若流形为 spin-c，则一致 K-理论与一致 K-同调之间存在 Poincaré 对偶。Poincaré 对偶连同上述一致 K-同调与 Roe 指标定理的关系，直接导出了椭圆伪微分算子指标定理的推广。最后，利用一致 K-同调的同伦不变性，我们推导了关于一致粗 Baum-Connes 猜想的重要结果，确立了其与通常粗 Baum-Connes 猜想同等的重要性。