Carnot流形上亚椭圆算子的指标理论

我们研究Carnot流形上亚椭圆算子的指标理论——这类流形的向量场李代数装备了由切丛子丛诱导的 filtration。Heisenberg伪微分算子在van Erp-Yuncken演算中是椭圆的，因而是亚椭圆且Fredholm的。在一些几何条件下，我们通过算子 $K$-理论计算其Fredholm指标。这些结果将Baum-van Erp（Acta Mathematica '2014）关于余定向接触流形的工作推广为在Carnot流形上几何地解决该指标问题的方法论。在Carnot流形是正则的（即所有纤维上具有同构的切触李代数）且容许平坦余伴随轨道的假设下，由Baum-van Erp工作衍生的方法论被充分细致地发展。在此情形下，我们发展了通过几何 $K$-同调（à la Baum-Douglas）计算Fredholm指标的 $K$-理论对偶。该对偶涉及平坦轨道表示的Hilbert空间丛。Toeplitz算子以及形如“$\Delta_H+\gamma T$”的算子的指标问题的显式解在几何 $K$-同调中被算出，分别将Boutet de Monvel和Baum-van Erp的结果从余定向接触流形推广到正则多接触流形。