边值问题指标理论的 C*-代数方法

Boutet de Monvel 的演算提供了一个伪微分框架，涵盖了经典的微分边值问题。作为 Lopatinski 和 Shapiro 概念的推广，它为每个算子关联了两个符号：一个作为丛同态的伪微分主符号，以及一个算子值边界符号。椭圆性要求两者均可逆。如果底流形是紧致的，椭圆元素定义了 Fredholm 算子。Boutet de Monvel 展示了随后如何以拓扑项计算指标。关键的观察是，椭圆算子可以映射到流形内部余切丛上具有紧支撑的 $K$-理论类。将 Atiyah-Singer 拓扑指标映射应用于此类，便给出了该算子的指标。基于此结果，Fedosov、Rempel-Schulze 和 Grubb 给出了以符号表示的指标公式。在本文中，我们综述了先前关于如何利用 C*-代数 K-理论给出 Boutet de Monvel 边值问题指标定理证明的工作，以及相同技术如何给出 Boutet de Monvel 算子族的指标定理。我们方法的关键要素是对边界符号核与像的 K-理论的精确描述。