通过酉共轭群胚的Fredholm算子指标定理

在之前的一篇论文中，我们引入了与任何单位可分I型C*-代数相关的酉共轭群胚。该群胚通过其酉群在交换子代数的特征上的作用编码了代数的表示论结构，并允许将代数典范嵌入到其群胚C*-代数中。在本文中，我们将此框架应用于两个基本的算子代数：可分希尔伯特空间上所有有界算子的代数和紧算子的单位化。对于这些代数中的任何Fredholm算子，我们使用算子的相位构造了一个自然的等变KK-理论类。应用群胚的Kasparov下降，在相关群胚C*-代数的K-理论中产生一个类。利用先前工作中建立的Morita等价，这个下降的类可以被识别为算子的符号类。我们证明了将这个类与Calkin扩张的边界映射复合，可以恢复经典的Fredholm指标。特别地，该构造为单侧移位产生指标减一，为恒等算子的紧扰动产生指标零。这提供了Fredholm指标的群胚等变表述，并将酉共轭群胚与经典算子指标理论联系起来。这种视角通过算子代数相关群胚的等变K-理论，为指标理论提供了一种通用方法。