可逆算子的分解与 $C^*$-代数的 $K$-理论

设 $\Scr A$ 为含单位元的 C*-代数。我们描述了 Hilbert C*-模 $\Scr H_{\Scr A}$（特别地 $\Scr H=l^2$ 上）上所有可逆算子的\it K-骨架分解\rm，以 Fredholm 指数为不变量。然后我们概述了同构 $K_0(\Scr A) \cong \pi _{2k}([p]_0)\cong \pi _{2k} ({GL}^p_r(\Scr A))$ 与 $K_1(\Scr A)\cong \pi _{2k+1}([p]_0)\cong \pi _{2k+1}(GL^p_r(\Scr A))$（$k\ge 0$），其中 $[p]_0$ 表示无限 Grassmann 空间 ${Gr}^{\infty }(\Scr A)$ 中一个投影 $p$ 的所有紧扰动构成的类，$GL^p_r(\Scr A)$ 表示 $\Scr H_{\Scr A}$ 上所有与 $p$ 本质上交换的可逆算子组成的群。