半黎曼群的曲率适应子流形

我们研究配备双不变度量的李群 $G$ 中任意余维数的半黎曼子流形。特别地，我们证明若 $M \subset G$ 的法丛在李括号下封闭，则 $M$ 的任意法 Jacobi 算子 $K$ 等于相关不变形状算子 $\alpha$ 的平方。这允许从几何上、借助左平移来理解对 $G$ 的曲率适应性。例如，在 $M$ 为黎曼超曲面的情形下，我们的主要结果表明：法 Jacobi 算子与普通形状算子可交换，当且仅当其每个特征空间在沿所有其他特征空间处与 $M$ 具有一阶切触的左不变扩张时成立。作为等式 $K = \alpha^{2}$ 的进一步推论，我们获得了关于一个熟知事实的新的与情形无关的证明：每一个配备双不变半黎曼度量的三维李群具有常曲率。