黎曼 Hilbert 流形中的等参子流形

本文引入黎曼 Hilbert 流形中可正则化子流形的概念。该子流形定义为曲率不变子流形，且其形状算子与法 Jacobi 算子可正则化，其中“算子可正则化”意指算子是紧的，且其正则化迹与平方的通常迹均存在。进一步，我们引入黎曼 Hilbert 流形中等参子流形的概念。该子流形定义为具有平坦截面与平凡法和乐群、并满足在平行子流形的径向方向上正则化平均曲率常数的可正则化子流形。对于局部对称黎曼 Hilbert 流形中具平凡法和乐群的曲率适应可正则化子流形 $M$，我们证明：若对任意 $M$ 的平行法向量场 $\widetilde{\xi}$，形状算子 $A_{\widetilde{\xi}_x}$ 与法 Jacobi 算子 $\widetilde R(\widetilde{\xi}_x)$ 独立于基点 $x(\in M)$（直至正交等价），则在若干附加条件下它是等参的。此外，我们定义黎曼 Hilbert 流形中等焦子流形的概念。我们证明，半单李群 $G$ 作用在由紧黎曼流形 $B$ 上 $G$-丛 $P$ 的所有 $H^s$-联络构成的黎曼 Hilbert 流形 $\mathcal A_P^{H^s}$ 上的某类 Hilbert 李群作用的主体轨道是等焦的，其中 $s>\frac{1}{2}\,{\rm dim}\,B-1$。