\bar\partial-Neumann 问题的 G-Fredholm 性质

设 $G$ 为单模 Lie 群，$X$ 为带边紧流形，$M$ 为主丛 $G\to M\to X$ 的全空间，使得 $M$ 也是强伪凸复流形。在本工作中，我们证明若 $G$ 通过全纯变换作用于 $M$，则 $M$ 上的复 Laplacian $\square$ 具有以下性质：$\square$ 限制在 $q$ 为正的形式 $\Lambda^{p,q}$ 上的核是 $L^{2}(M,\Lambda^{p,q})$ 中具有有限 $G$ 维数的闭 $G$-不变子空间。其次，我们证明若 $q$ 为正，则 $\square$ 的像包含 $L^{2}(M,\Lambda^{p,q})$ 中具有有限余维数的闭 $G$-不变子空间。这两个性质合起来意味着 $\square$ 是一个 $G$-Fredholm 算子。边界 Laplacian 具有类似的性质。