关于紧李群作用不变算子的 Fredholm 条件

设 $G$ 为紧李群，光滑作用于光滑紧流形 $M$ 上，令 $P \in \psi^m(M; E_0, E_1)$ 为作用于两个向量丛 $E_i \to M$（$i = 0,1$）截面之间的 $G$ 不变经典伪微分算子，$\alpha$ 为群 $G$ 的一个不可约表示。则 $P$ 诱导出 $\alpha$ 典型分量之间的映射 $\pi_\alpha(P) : H^s(M; E_0)_\alpha \to H^{s-m}(M; E_1)_\alpha$。我们证明映射 $\pi_\alpha(P)$ 为 Fredholm 的充要条件是 $P$ 为{\em 横截 $\alpha$ 椭圆}，该条件由 $P$ 的主符号及 $G$ 在向量丛 $E_i$ 上的作用所定义。