不变算子的 Fredholm 条件：有限阿贝尔群与边值问题

我们回答了如下问题：一个不变伪微分算子在固定的给定等型分量上何时是 Fredholm 的。更精确地，设 $\Gamma$ 为紧群，作用在光滑、紧、无边界流形 $M$ 上，并设 $P \in \psi^m(M; E_0, E_1)$ 为一个 $\Gamma$-不变、经典的伪微分算子，作用于两个 $\Gamma$-等变向量丛 $E_0$ 与 $E_1$ 的截面之间。设 $\alpha$ 为群 $\Gamma$ 的一个不可约表示。则 $P$ 通过限制诱导出一个映射 $\pi_\alpha(P) : H^s(M; E_0)_\alpha \to H^{s-m}(M; E_1)_\alpha$，作用于相应截面 Sobolev 空间的 $\alpha$-等型分量之间。我们在本文中研究映射 $\pi_\alpha(P)$ 为 Fredholm 的条件。结果表明离散与非离散情形相当不同。此外，离散阿贝尔情形提供了一些最有趣的应用，呈现出某些特殊性质，并且比一般情形容易得多。因此我们本文集中于 $\Gamma$ 为有限阿贝尔群的情形。我们证明限制 $\pi_\alpha(P)$ 是 Fredholm 的，当且仅当 $P$ 是“$\alpha$-椭圆的”，这一条件由 $P$ 的主象征定义。若 $P$ 是椭圆的，则 $P$ 也是 $\alpha$-椭圆的，但反之一般不成立。然而，若 $\Gamma$ 在 $M$ 的一个稠密开子集上自由作用，则对给定固定的 $\alpha$，$P$ 是 $\alpha$-椭圆的当且仅当它是椭圆的。证明基于对代数 $\psi^{m}(M; E)^\Gamma$（作用于向量丛 $E \to M$ 截面的经典 $\Gamma$-不变伪微分算子）的结构及其在 $\Gamma$ 的等型分量上限制的结构的研究。这些结构用群 $\Gamma$ 在 $E \to M$ 上作用的各向同性群描述。