$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中极小曲面的高斯映射

在本工作中，我们考虑与 $\mathbb{R}^3\setminus \{0\}$ 等距的 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 模型，赋予其与 $\mathbb{R}^3$ 欧氏度量共形等价的度量，并如同在三维欧氏空间中一样为该模型中的曲面定义高斯映射。我们证明的一个主要结果是：$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中任意两个具有相同非常数高斯映射的极小共形浸入仅相差两类环境等距之一：要么 $f=(\mathrm{id},T)$，其中 $T$ 是 $\mathbb{R}$ 上的平移；要么 $f=(\mathcal{A},T)$，其中 $\mathcal{A}$ 表示 $\mathbb{S}^2$ 上的对径映射。此外，若高斯映射是奇异的，我们证明它必为常数，此时在该假设下仅出现 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中 $\mathbb{S}^2$ 测地线上的竖直柱面。我们还研究了一些特例，其中证明 $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ 中不存在高斯映射为非常数反全纯映射的极小共形浸入。