关于极小曲面的 Gauss 映射赋值与 Osserman 曲率估计

开 Riemann 面 $M$ 到 $\mathbb{R}^n$（$n\ge 3$）的共形极小浸入的 Gauss 映射是一个全纯映射 $M\to{\bf Q}^{n-2}\subset \mathbb{CP}^{n-1}$。记 ${\rm CMI}_{\rm full}(M,\mathbb{R}^n)$ 和 $\mathscr{O}_{\rm full}(M,{\bf Q}^{n-2})$ 分别为全共形极小浸入 $M\to\mathbb{R}^n$ 的空间和全全纯映射 $M\to{\bf Q}^{n-2}$ 的空间，两者均赋予紧开拓扑。在本文中，我们证明 Gauss 映射赋值 $\mathscr{G}:{\rm CMI}_{\rm full}(M,\mathbb{R}^n)\to \mathscr{O}_{\rm full}(M,{\bf Q}^{n-2})$（将一个全共形极小浸入映射为其 Gauss 映射）是一个开映射。根据 Forstneric 和作者们的一个结果，这意味着 $\mathscr{G}$ 是一个商映射。同样的结果对于映射 $(\mathscr{G},Flux):{\rm CMI}_{\rm full}(M,\mathbb{R}^n)\to \mathscr{O}_{\rm full}(M,{\bf Q}^{n-2})\times H^1(M,\mathbb{R}^n)$ 也成立，其中 $Flux:{\rm CMI}_{\rm full}(M,\mathbb{R}^n)\to H^1(M,\mathbb{R}^n)$ 是通量赋值。作为应用，我们确立了满足经典 Osserman 曲率估计的映射 $G\in \mathscr{O}_{\rm full}(M,{\bf Q}^{n-2})$ 的集合——使得 $\mathbb{R}^n$ 中所有以 $G$ 为 Gauss 映射的极小曲面族 $\mathscr{G}^{-1}(G)$ 满足该估计——在全纯映射 $M\to {\bf Q}^{n-2}$ 的空间中是贫集。