双曲空间中等变浸入的高斯映射

给定双曲空间 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中一个定向浸入超曲面,其高斯映射取值于 $\mathbb{H}^{n+1}$ 的有向测地线空间,该空间具有自然的仿Kähler结构。本文研究如下问题:对于 $n$ 维流形 $M$ 的万有覆叠的浸入 $G$,若其对 $\pi_1(M)$ 在 $\mathrm{Isom}(\mathbb{H}^{n+1})$ 中的某个群表示是等变的,则 $G$ 是否为 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中某个等变浸入的高斯映射。对于主曲率在 $(-1,1)$ 内的浸入,我们完全回答了该问题:唯一的局部障碍是 $G$ 为Lagrangian且Riemannian的条件,而整体障碍则更为微妙;我们给出了两种刻画,其一是通过Maslov类,其二是(对紧致 $M$)通过紧支Hamilton辛同胚群的作用。