等时仿射浸入与伪黎曼空间型

我们介绍了一种显式构造方法，产生从 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的等时仿射浸入到 $\mathbb{S}^{n,n+1}$ 和 $\mathbb{H}^{n+1,n}$ 的浸入，反之亦然。我们描述了这些浸入如何通过在 $\mathbb{H}^{n+1,n}$ 上定义的主 $\mathbb{R}$-束结构下的准萨基度量进行交互作用。在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的等时仿射浸入为 $n$ 维双曲仿射球的情况下，我们获得在 $\mathbb{H}^{n+1,n}$ 中满足主 $\mathbb{R}$-束结构的横向条件的时空最大浸入。作为第一个应用，我们表明，给定一个边界集合 $\Lambda_\Omega \subset \partial_\infty \mathbb{H}^{n+1,n}$，该集合与 $\mathbb{RP}^n$ 中某个适当凸子集 $\Omega$ 同胚于 $(n-1)$ 球体，存在于 $\mathbb{H}^{n+1,n}$ 中一个 $n$ 维最大时空浸入，其边界正是 $\Lambda_\Omega$。作为第二个应用，我们表明，实验家 Labourie 对 $n=2$ 引入的双曲仿射球的 Blaschke 提升到 $\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{R})$ 的对称空间中是调和映射。