Hopf fibrations 的刚性

本文研究欧氏球面间的最小映射。Hopf 纤维化给出了此类最小映射的显式例子。此外，它们对应的图具有常范数的第二基本形式。我们证明，从 $S^3$ 到 $S^2$ 的极小浸没，若其 Gauss 映射满足适当的挤压条件，则必为弱共形且纤维完全测地。由此得到，从 $S^3$ 到 $S^2$ 的等变极小浸没与 Hopf 纤维化重合。进一步，我们证明具有常奇异值和常第二基本形式范数的极小映射 $f:S^3 \to S^2$ 要么为常数，要么在等距意义下与 Hopf 纤维化重合。