Hopf 纤维化由逐纤维齐次性刻画

Heinz Hopf 著名的纤维化，即用大圆对 2n+1-球面、用大 3-球面对 4n+3-球面以及用大 7-球面对 15-球面进行的纤维化，具有许多有趣的性质。除了提供从一球面到另一低维球面的首个同伦非平凡映射示例外，它们都共享两个显著特征：(1) 它们的纤维是平行的，即任意两个纤维之间的距离为常数；(2) 这些纤维化具有高度对称性。例如，每个全空间都存在一个保纤维的等距映射，可将任意给定纤维映为任意其他纤维。Hopf 纤维化已由上述第一个性质在等距意义下得到刻画，最初是在所有由大子球面对球面进行的纤维化中，后来在更强的意义上在所有由光滑子球面对球面进行的纤维化中。在本文中，我们证明 Hopf 纤维化也可由上述 (2) 中表达的“逐纤维齐次性”来刻画，且在所有由光滑子球面对球面进行的纤维化这一更强意义下成立。在大圆纤维化 3-球面这一特殊情形下，我们证明了更强的结论：我们证明，若一个连通开集被大圆进行的纤维化是局部逐纤维齐次的，则它是 Hopf 纤维化的一部分。