曲线空间上具有预定水平丛的度量

我们研究曲线形状空间上诱导预定切丛分裂的度量。更具体地说，我们考虑参数化正则曲线空间 $\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb R^2)$ 上的重参数化不变度量 $G$。对于许多度量，每条曲线 $c$ 处的切空间 $T_c\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb R^2)$ 分裂为垂直和水平分量（相对于到非参数化曲线形状空间 $B_i(S^1,\mathbb R^2)=\operatorname{Imm}(S^1,\mathbb R^2)/\operatorname{Diff}(S^1)$ 的投影以及相对于度量 $G$）。在先前的文章中，我们表征了所有使得诱导分裂与法向和切向的自然分裂相重合的度量 $G$。在这些笔记中，我们扩展了这一分析，以表征所有诱导切丛任意预定分裂的度量。