曲线空间中的 Sobolev 型度量

我们定义一个流形 $M$,其中对象 $c\in M$ 为曲线,将其参数化为 $c:S^1\to R^n$ ($n\ge 2$,$S^1$ 为圆周)。给定一条曲线 $c$,我们定义 $M$ 在 $c$ 处的切空间 $T_cM$,其中包含 $c$ 的所有形变 $h:S^1\to R^n$。本文研究由 Sobolev 型度量 $H^j$ 所提供的曲线流形上的几何。我们研究情形 $j=1,2$ 下的 $H^j$ 型度量;我们证明估计,并刻画光滑曲线空间的完备化。作为附带结果,我们证明曲线的 Fréchet 距离(见 arXiv:math.DG/0312384)与 arXiv:math.DG/0412454 中 §2.2 所定义的“Finsler $L^\infinity$ 度量”诱导的距离一致。