平面上平坦黎曼度量的分类
微分几何
2020-01-14 v1
摘要
我们分类了二维平面上的所有光滑平坦黎曼度量。在完备情形下，众所周知这些度量与欧氏度量等距。在不完备情形下，存在大量自然出现、互不等距且相关有用的度量。值得注意的是，对所有平面平坦黎曼度量的研究与分类——作为一个主题——在文献中是新颖的。我们的研究大多集中于形如 的共形度量，其中 \varphi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R) 为调和函数， 为 上的标准欧氏度量。我们发现所有此类我们称之为“调和”的度量均源于黎曼曲面。
引用
@article{arxiv.2001.03888,
title = {The classification of flat Riemannian metrics on the plane},
author = {Vincent E. Coll, and Lee B. Whitt},
journal= {arXiv preprint arXiv:2001.03888},
year = {2020}
}