$\mathbb{R}^{d}$ 上分数阶 EPDiff 方程的局部与全局适定性

本文关注 $\mathbb{R}^{d}$ 的 $H^{\infty}$-微分同胚群及其 Sobolev 完备化 $\mathcal{D}^{q}(\mathbb{R}^{d})$ 上的分数阶 Sobolev 型度量的研究。证明了对于 $s >1 + \frac{d}{2}$，$H^{s}$-Sobolev 度量在 Banach 流形 $\mathcal{D}^{s}(\mathbb{R}^{d})$ 上诱导了一个强且光滑的黎曼度量。由此得到了相应测地线方程的全局适定性结果，该结果既适用于 Banach 流形 $\mathcal{D}^{s}(\mathbb{R}^{d})$，也适用于所有 $H^{\infty}$-微分同胚的光滑正则 Fr\'echet-Lie 群。此外，还推导了阶数为 $\frac{1}{2} \leq s < 1 + d/2$ 的度量的测地线方程的局部存在性结果。