有界曲率和直径下余维数一坍缩的刻画

设 $\mathcal{M}(n,D)$ 为满足 $diam(M) \leq D$ 且 $| \sec^M | \leq 1$ 的闭 $n$ 维黎曼流形 $(M,g)$ 的空间。本文考虑 $\mathcal{M}(n,D)$ 中在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛到紧致度量空间 $Y$ 的序列 $(M_i,g_i)$。我们一方面证明，如果存在正数 $r$ 使得对所有点 $x \in M_i$，商 $\frac{vol(B^{M_i}_r(x))}{inj^{M_i}(x)}$ 能被正常数 $C(n,r,Y)$ 一致地从下方界定，则该序列的极限空间至多具有余维数 $1$。另一方面，我们证明如果极限空间至多具有余维数 $1$，则对所有正数 $r$，存在正常数 $C(n,r,Y)$ 对所有 $x \in M_i$ 一致地从下方界定商 $\frac{vol(B^{M_i}_r(x))}{inj^{M_i}(x)}$。证明使用了 Cheeger、Fukaya 和 Gromov 关于 $\mathcal{M}(n,D)$ 中坍缩结构的结果。此外，对于具有一致有界基本张量的浸没 $M \rightarrow Y$，我们推导了纤维 $F_p$（其中 $p \in Y$）的注入半径的上界，该上界与 $M$ 在某一 $x \in F_p$ 处的注入半径成正比，前提是 $x$ 处的注入半径相对于 $Y$ 的注入半径足够小。作为结论，对于由所有满足对固定正数 $r$ 和 $C$ 有 $C \leq \min_{x \in M}\frac{vol(B^{M}_r(x))}{inj^{M}(x)}$ 的 $\mathcal{M}(n,D)$ 中的流形构成的空间的闭包，我们推导了体积的一致下界以及截面曲率的本质上确界的界。