可求长Reifenberg与平稳及极小调和映射的正则性

本文研究黎曼流形之间平稳与极小调和映射 $f:B_2(p)\subseteq M\to N$ 的正则性。如果 S^k(f)\equiv\{x\in M: \text{ no tangent map at x is }k+1\text{-symmetric}\} 是 $f$ 奇异集的第 $k$ 层，那么众所周知 $\dim S^k\leq k$，然而关于 $S^k(f)$ 的结构在其他方面几乎一无所知。我们的第一个结果针对一般平稳调和映射，我们证明 $S^k(f)$ 是 $k$-可求长的。对于极小调和映射，我们进一步证明奇异集 $S(f)$（已知满足 $\dim S(f)\leq n-3$）实际上是 $n-3$-可求长的，且具有一致{\it finite} $n-3$-测度。此结果的一个有效版本使我们证明 $|\nabla f|$ 在 $L^3_{weak}$ 中有估计，该估计是尖锐的，因为 $|\nabla f|$ 可能不属于 $L^3$。上述结果实际上只是我们证明的关于{\it 定量}分层 $S^k_{\epsilon,r}(f)$ 和 $S^k_{\epsilon}(f)\equiv S^k_{\epsilon,0}(f)$ 的一类新估计的应用。粗略地说，$S^k_{\epsilon}\subseteq M$ 是满足对任意球 $B_r(x)$ 都不 $\epsilon$-接近于 $k+1$-对称的点 $x\in S^k_\epsilon$ 的集合。我们证明 $S^k_\epsilon$ 是 $k$-可求长的，并满足闵可夫斯基估计 $Vol(B_r\,S_\epsilon^k)\leq C r^{n-k}$。证明需要平稳调和映射的一个新的 $L^2$-子空间逼近定理，以及新的 $W^{1,p}$-Reifenberg和可求长-Reifenberg型定理。这些结果是经典Reifenberg的推广，并给出了可检验的准则以确定一个集合何时具有一致测度估计的 $k$-可求长性。新的Reifenberg型定理可能具有独立意义。